Пусть одно тело движется вдоль оси OX от точки с координатой (100; 0) к началу координат со скоростью 60 км/ч. Тогда его уравнение движения: x = 100 – 60t.

Пусть второе тело движется вдоль оси OY от точки с координатой (0; 100) к началу координат со скоростью 80 км/ч. Тогда его уравнение движения: y = 100 – 80t.

Расстояние между точками на оси A (x; 0) и B (0; y) равно: ρ² = x² + y².

Будем рассматривать квадрат расстояния в силу положительности самого расстояния.

В тот момент, когда квадрат положительной величины будет минимален (или максимален) соответственно и сама величина будет минимальна (или максимальна).

ρ² = (100 – 60t)² + (100 – 80t)² = 20²·(5 – 3t)² + 20²·(5 – 4t)² = 20²·[ (5 – 3t)² + (5 – 4t)² ] =

    = 20²·[ 25 – 30t + 9t² +25 – 40t + 16t² ] = 400·[ 25t² – 70t + 50] = 400·5·[ 5t² – 14t + 10] =

    = 2000·(5t² – 14t + 10)

В скобках находится квадратный трехчлен, графиком которого является парабола, ветви направлены вверх, т.к. a = 5 >0. Тогда данный квадратный трехчлен принимает наименьшее значение в вершине t₀ = –b/(2a) = 14/(2·5) = 1,4

Получаем, что через 1,4 часа = 1 час 24 минуты расстояние между автомобилями будет наименьшим.

ρ = √(2000·(5t₀² – 14t₀ + 10)) = √(2000·(5·1,4² – 14·1,4 + 10)) = √(2000·(5·1,96 – 19,6 + 10)) =

   = √(2000·( 0,2 )) = √400 = 20

Ответ: через 1,4 часа = 1 час 24 минуты расстояние между автомобилями будет наименьшим и равно 20 км